ANÁLISE COMBINATÓRIA
Objetivo geral - Desenvolver o raciocínio combinatório, tendo em vista: a familiarização do aluno com problemas que envolvem contagem; a sistematização da contagem; a sistematização dos conceitos de Arranjo, Permutação e Combinação simples.

Conteúdo 1 - Problemas variados de contagem.

Objetivo: Descrever os casos possíveis envolvidos nos problemas e conta-los posteriormente.

1 - Quantos triângulos é possível construir com os vértices de um pentágono regular?

2 - Quantos segmentos são definidos pelos vértices de um hexágono regular?

3 - Quantas diagonais possui um hexágono regular?

4 - Quantos retângulos há na figura.



5 - Um condomínio fechado é constituído por 6 blocos de apartamentos, dispostos como mostra a figura. De quantas maneiras diferentes se pode ir da esquina A até a esquina B, percorrendo as ruas do condomínio e realizando sempre o caminho mais curto?











6 - Quantos subconjuntos tem os conjuntos:

a) A = {a, b}
b) B = {a, b, c}
c) C = {a, b, c, d}
d) D = {a, b, c, d, e}

Obs: Em um conjunto com n elementos, temos 2n subconjuntos.

Conteúdo 2 - Princípio Multiplicativo e aditivo

Objetivos: - Perceber que a contagem direta é impraticável na maioria dos casos;
- Analisar os processos de formação de agrupamentos;
- Desenvolver técnicas de contagem.

1 - Estão em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e, supondo que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas um evento (filme ou teatro), quantas opções diferentes Carlos tem para seu divertimento?

2 - Se no problema anterior, Carlos tiver dinheiro para assistir um filme e uma peça de teatro, quantas opções ele terá para seu divertimento, sendo irrelevante qual ele assiste primeiro?

3 - Tenho 2 calças e 3 sapatos, quais e quantas maneiras diferentes posso me vestir?

4 - Uma pessoa tem 2 calças, 3 blusas e 2 sapatos. Quais e quantas são as diferentes possibilidades dessa pessoa se vestir?

5 - Existe 3 caminhos para ir da cidade A para a cidade B e 4 caminhos da cidade B para a C. Quantos caminhos diferentes posso ir da cidade A para a C, passando necessariamente por B?

6 - Quantos e quais números de três algarismos distintos (sem repetição) podemos formar com os algarismos 1, 2, 3?

7- Quantos números de 4 algarismos distintos posso formar usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?

8 - Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, determine:
a) quantos números de 3 algarismos posso formar?
b) quantos números de 3 algarismos distintos posso formar?

9 - Usando os algarismos 1, 2, 3 e 4, quantos números pares de 3 algarismos distintos posso formar?

10 - Quantos veículos posso emplacar, usando placas com 3 letras e 4 algarismos. (usando o alfabeto americano com 26 letras).

11 - E se as letras e os algarismos fossem distintos, quantos veículos poderia emplacar?

12 - Usando o sistema decimal, determine quantos números de telefones diferentes eu poderia cadastrar, sendo número com 8 dígitos?

13 - De quantos modos distintos podemos entrar numa casa com 2 portões e 4 portas?

14 - Uma igreja tem 6 portas.
a) De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair da igreja?
b) De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e sair da igreja, não podendo sair pela mesma porta que entrou.

15 - Em uma prova de automobilismo disputam 20 carros. Quantos são as possibilidades de classificação nos 3 primeiros lugares?

16 - Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um sorvete ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer?

17 - Suponha que Lúcia vá a confeitaria com Maria e possa tomar um picolé e comer um salgado. Quantos pedidos diferentes Lúcia pode fazer?

18 - De quantas maneiras podemos dar dois prêmios à uma classe com 10 rapazes;
a) de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz.
b) De modo que seja permitido que ambos sejam dados à um mesmo rapaz.

19 - De quantas maneiras diferentes duas pessoas podem estacionar seus carros numa garagem com 6 vagas numeradas?

20 - Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras diferentes podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras?


Conteúdo 3 - Sistematização da contagem: Arranjos, Combinações e Permutações.

Dado um conjunto, existem várias maneiras de agruparmos os seus elementos. Passaremos agora a identificar os diferentes tipos de agrupamentos que nos interessam na análise combinatória, são ele: arranjos, combinações e permutações.

Arranjo Simples ou sem repetição

É um tipo de agrupamento com n elementos distintos, tomados k a k, sem repetição, onde importa a ordem dos seus elementos.
Notação: An,k (lê-se: arranjo de n elementos tomados k a k)
O número de arranjos simples é dado por:
An,k = n!/ (n-k)!

Exemplo 1 - Usando os algarismos 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2 algarismos distintos posso formar?
Resolução:





Observe no exemplo dado que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo). Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples de 4 elementos tomados 2 a 2 e indicamos por A4,2.

Exemplo 2 - Em uma competição de automobilismo 10 carros estão disputando, quantas são as possibilidades de classificação nos 3 primeiros lugares?
Resolução:





Combinação Simples ou sem repetição

É um tipo de agrupamento com n elementos distintos, tomados k a k, sem repetição, onde não importa a ordem dos elementos.
Notação: Cn,k ( lê-se: combinação de n elementos tomados k a k)
O número de combinação simples é dado por:
Cn,k = n! / (n-k)! k!

Exemplo 3 - Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?
Resolução:






Observe no exemplo dado que os grupos de alunos AB e BA representam a mesma comissão. Os alunos A e B, não importa a ordem, formam apenas uma comissão. Os grupos assim obtidos são denominados combinações simples de 5 elementos tomados 2 a 2 e são indicados por C5,2.


Exemplo 4 - Com um grupo de 10 pessoas, quantas comissões diferentes de 4 pessoas posso formar?
Resolução:







Permutação Simples ou sem repetição

É um caso particular de arranjo simples, é quando eu trabalho com todos os elementos do conjunto, ou seja, n = k.
Notação: Pn (lê-se: permutação de n elementos).

Pn = An,n = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Então o número de permutações simples é dado por:
Pn = n!

Exemplo 5 - Quantos números de algarismos distintos posso formar usando todos os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Resolução:


Exemplo 6 - Quais e quantos são os anagramas que posso formar com a palavra RAU.
Obs: anagramas são "palavras" que possuem sentido ou não.
Resolução:










Exemplo 7 - Quantos anagramas posso formar com a palavra RATO?


Arranjo com repetição

Exemplo 8 - Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, quantos números de 3 algarismos posso formar?


Permutação com repetição

Exemplo 9 - Quantos anagramas posso formar com a palavra ARARAQUARA?


Problemas variados sobre análise combinatória

1 - Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 7 e 9?

2 - Com as letras P, T, A, E, R, S, V quantos anagramas de 4 letras distintas podem ser formadas?

3 - Quantos números pares de 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

4 - Com as letras A, B, C, D, F, G, quantos anagramas de 4 letras sem repetição terminados em vogal podem ser formados?

5 - Em um concurso da Mega Sena são sorteados 6 números. Quantos jogos diferentes podemos fazer em um cartão?

6 - E na quina, quantos jogos diferentes podemos fazer?

7 - Com 28 cartas de um baralho, de quantas maneiras diferentes podemos tomar 5 cartas?

8 - Com 6 pontos distintos marcados em uma circunferência, quantas retas podemos formar?

9 - Com 7 pontos distintos em uma circunferência, quantos triângulos podemos formar?

10 - Cinco cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis para os três primeiros colocados?

11 - Em determinada cidade o número de telefones passará de 6 para 7 dígitos. Qual o aumento da quantidade disponível de telefones?

12 - Com 5 engenheiros e 8 físicos, quantas comissões diferentes posso formar com exatamente 2 engenheiros e 3 físicos?

13 - Numa escola à 8 professores de Matemática, 6 de Química e 3 de Biologia. Quantas comissões diferentes posso formar com exatamente 5 professores de Matemática, 3 de Química e 2 de Biologia?

14 - Com 5 pontos marcados sobre uma reta (distintos) e 2 pontos distintos sobre uma outra reta paralela, quantos triângulos podemos formar?

15 - Quantos anagramas possuem as palavras:
a) MÚSICA
b) MISSISSIPPI
c) BISCOITO